Enseñar Matemáticas

Autor

José Fernando Isaza
Rector Universidad Jorge Tadeo Lozano
Rectorí[email protected]
 

Voy a esbozar unas ideas en borrador que las he denominado la evolución y las ense- ñanzas de las matemáticas.

Inicio esta historia por el final. En el tránsito del siglo se reflexionaba cuál fue o cuáles fueron los principales hitos que modificaron el conocimiento del mundo físico y el mundo matemático.   Durante el siglo XX se puede afirmar  que se hizo más lejana,  la posibilidad de la certeza.  Estos hitos condujeron a lo que se denomina la elusiva certidumbre. El principio de incertidumbre  impide que se conozca con precisión la posición y velocidad de una partícula, rompiendo totalmente  con la mecánica newtoniana.  Otros resultados son la existencia de sistemas totalmente determinísticos pero no computables, la imposibilidad de computación no es consecuen- cia de la ausencia de herramientas analíticas o falta  de capacidad de procesamiento de esos sistemas en computadoras, su estructura matemática demuestra que no son computables. Aparecen también en el siglo XX el concepto de las proposiciones indecibles es decir proposiciones que pueden ser ciertas pero es indemostrable su certeza otra consecuencia de la imposibilidad  que tiene la matemática de demostrar que no es con- tradictoria. Después de estos resultados ha- blar de la verdad matemática no tiene sentido. Por supuesto todos esos desarrollos que son de la primera  mitad  del siglo XX plantean una limitación  real, al conocimien- to  que se puede obtener  a través de los modelos matemáticos.

Hace algunos años en una conversación con el profesor Llinás, le expuse esa inquietud.

¿Qué hubiera pasado si el desarrollo de los modelos físicos y el concepto matemático hubiera sido diferente  tal que no se hubiera llegado a estas limitaciones? Por supuesto es un pensamiento hipotético. Apelando a la memoria. Planteó el profesor Llinás: “las  matemáticas son muy recientes en la historia  de la humanidad. Al impasse que se llega con ese desarrollo del siglo XX es por la forma en que se construyó el edificio matemático.  Pero por supuesto no es posible devolver la historia hacia atrás. 5.000 años de construcción de un sistema de conocimiento no es nada, comparados con el millón  de años de la evolución del hombre sobre la tierra”. Por supuesto, los platonistas no estarían de acuerdo con la anterior  afirmación  de que la matemática es una construcción del cerebro. Los platonistas expresan la idea que  la matemática está en el cosmos, y lo único que logra el cerebro humano es captarla y expresarla. A pesar de lo mítico de esa teoría, matemáticos de la talla de Hardy y Ramanujan, avalan la teoría  platónica  de que existe una matemática  en el mundo y lo que se debe buscar es descubrirla, que la mente no la inventa.

Los formalistas  plantean  otra  idea.  Las matemáticas son una creación del cerebro humano. Y esa creación se ajusta muy bien a la modelación de las ciencias naturales. Lo que se denomina “la  efectividad  sin ra- zón”.  La idea de los formalistas coincide con la hipótesis del Dr. Llinás, el conocimiento  matemático  es inventado  por el hombre. A diferencia,  del lenguaje que es evolutivo.  Las teorías de Chomsky son muy claras: Los niños nacen con una estructura lingüística fruto de la evolución necesaria para la supervivencia del hombre. El punto es que la matemática  no es evolutiva.  La matemática es artificial. Existe en la parte evolutiva  un cierto  concepto de cantidad. Un cierto concepto de volumen. Necesarios para la supervivencia. Pero conceptos de una matemática  abstracta no son evoluti- vos. Simplificando puede hacerse la siguiente analogía, si el cerebro es e hardware, este viene dotado de un software lingüístico, pero no de un matemático,  este debe ser construido.

Es casi imposible encontrar en cualquier país un periódico,  una revista que no tenga un artículo  sobre el fracaso de la enseñanza de las matemáticas. Se habla de las limitaciones en la baja formación  matemática de los estudiantes de primaria,  de secundaria.  La hipótesis que voy a esbozar,  es que esta falencia se debe a que el sistema de enseñanza primaria piensa que la mate- mática es evolutiva como el lenguaje y tra- ta de enseñarla como este, olvidando que es una creación del cerebro,  creación que cada persona debe realizar.

Un niño de dos años comprende algo del lenguaje.  A los 10 años comprende cerca de 10.000 palabras y más o menos puede comunicar un 95% de su lenguaje materno. Muchos experimentos que se han hecho con los niños expresan conceptos como esos: “no  puedo entender la matemática”. Pero casi nunca un niño expresa un concepto como “no puedo entender el lenguaje”. (David A. Sousa). Y sin embargo, el siste- ma educativo trata  de asimilar los dos conceptos.  Los bebés nacen con un cierto concepto de cantidad pero no de número. Pueden diferenciar, y hay experimentos bellísimos,,  como un bebé puede diferenciar el 1, 2 y 3, cómo puede entender que 3 menos 1 es diferente  de tres,  pero no logra manejar intuitivamente un sistema numérico que supere las decenas y las centenas.

El esbozo de concepto de número y cantidad en un recién nacido, y que se desarrolla por supuesto, no es mucho más avanzado del concepto de cantidad que tienen algunos animales. En algunos experimentos con simios se concluye que pueden diferenciar números hasta 7 y 8.

En el momento en que los niños están aprendiendo las tablas de multiplicar con una compleja metodología diseñada para mortificar a los niños y los padres. En ese periodo ese niño está aprendiendo 10 palabras diarias nuevas sin ninguna dificultad. Las tablas de multiplicar no requieren aprender 100 números nuevos las uno y la del diez son casi intuitivas. No quedarían sino 64, las 2 al 8, y por la conmutatividad  solo sería necesario aprender 32 números. Aprender 32 números se ha convertido en un proceso difícil  y amargo y que deja muchos tendidos en el camino.

¿Qué pasa? Como se cree que la matemática es evolutiva  el proceso de enseñar 32 números recurre al mismo sistema de len- guaje.  Es  más sensato entender,  que hay dificultades en el aprendizaje y adecuar los sistemas de enseñanza. Voy a poner dos ejemplos muy sencillos de a dificultad que hay para entender el concepto de número, pero no el de cantidad.

Hace unos 30 años aparecieron los relojes digitales, la sensación, la maravilla. Todo el mundo planteó que no sería necesario aprender a leer  el reloj  que es una cosa relativamente compleja. Con el reloj digital que marca las horas como 10:38, está re- suelto el problema. Sin embargo, a los po- cos años pasaron de moda y se volvió al sistema analógico. ¿Por qué? Porque el ce- rebro calcula, por ejemplo, fácilmente el tiempo que falta  para una cita a las 10:30 y el reloj  analógico marca las 10:00 ve lo que faltaba,  pero si miraba digitalmente no lograba cuantificar  rápidamente  lo que faltaba  para cumplir  la cita.  Se demostró que es mejor  volver a enseñar la lectura del reloj  analógico.

Lo mismo ocurrió con los velocímetros.  Es0tuvieron  de moda durante un tiempo.  Mos- trar  en la pantalla  80 km/hora  en números grandes, pasaron también de moda. Se encontró que el cerebro razonaba más rápido cuando veía una aguja marcando 80 y un rojo  en 120, que cuando veía 80 y debía analizar lo que faltaba para llegar a 120. Lo cual muestra que el concepto de número toca enseñarlo de forma totalmente  diferente. Se dice, por ejemplo,  que seguramente la persona si viene con un software que le permita  manejar la dinámica física. Porque si no en la estepa no sabría si correr o subirse a un árbol para protegerse de un animal. Este software le permite  en la ciudad evi- tar que lo atropelle  un carro. Esta idea no parece ser cierta. Cuando una persona atraviesa una calle no está haciendo el cálculo a qué velocidad va el carro,  cuánto tiempo demora en frenar, cuál es el tiempo de re- acción para frenar, a qué velocidad puede ir y cuál es el espacio a recorrer si así fuera la población urbana se hubiera extinguido.

El cerebro maneja un sistema totalmente diferente basado en experiencia e intuición. El algoritmo  de modelo dinámico que maneja es totalmente  diferente  del algoritmo del modelo físico.

Hay un ejemplo  interesante  es posible demostrar que es imposible con un modelo real físico matemático  realizar una caram- bola a tres bandas. Este sistema es caótico y dependiente de condiciones iniciales.  El modelo tendría que tomar en cuenta, presión del taco, la resistencia del aire, el rozamiento,  la elasticidad  del choque, etc. Lo cual hace el modelo no computable y sin embargo, hay carambolas a tres bandas.

¿Qué pasa? El sistema que maneja  el billarista profesional no es el modelo de cho- que que maneja en físico. Por eso, contra- rio al mito popular, los físicos no son necesariamente buenos billaristas.  Cuando lo son es porque practican y tienen habilidades no porque sean buenos físicos.

El asumir que las matemáticas son evolutivas ha conducido a los peores errores u fra- casos en su enseñanza. Uno de los grandes psicólogos, Piaget,  seguramente con la mejor  intención,  plantea que los niños de- sarrollaban el concepto de estructuras matemáticas y la enseñanza debía partir  de lo general a lo  particular. La actividad  de 

Piaget se desarrolló a tiempo  con la crea- ción y consolidación de la escuela matemá- tica Bourbaki, los formalistas,  el rigor. Voy a leer algunas frases del seminario de las enseñanzas de las matemáticas organizado por Piaget, en el cual participaron  los más grandes matemáticos de la escuela Bourbaki de la época. “El objeto de la enseñanza de las matemáticas será siempre alcanzar el rigor lógico, lo mismo que la comprensión de un formalismo suficiente”, está hablando para la enseñanza de las matemáticas escolares. “ Si el edificio  de las matemáti- cas reposa sobre las estructuras  que corresponden, por otra  parte, a estructuras de la inteligencia es necesario buscar la di- dáctica de las matemáticas en la organización progresiva de estas estructuras operativas”.  Por supuesto hablan de las estructuras operativas: el grupo, el anillo, el campo, la red, las estructuras topológicas.

Por ejemplo,  Poincaré, uno de los grandes matemáticos del siglo XX. Decía el concepto  de grupo es genético y aparece antes del primer  año de vida. No es de extrañar que nos quejemos del problema de la enseñanza de las matemáticas. Premiaban el sistema deductivo general sobre el inductivo particular. Piaget por ejemplo decía “que a los 6 y 8 años el concepto de número entero, de rectas euclidianas y de rectas proyectivas era entendible  y era innato en un niño de 6 a 8 años”. Creo que no más del 2% de los lectores  pueden afirmar que cuando tenían 6 a 8 años podían conocer el concepto de recta proyectiva. Según Piaget no debería explicar  este concepto porque es innato,  les recuerdo que ustedes sabían a los 6 años. La recta proyectiva es simplemente la recta euclidiana en que más finito y menos finito  se unen y es isomorfa a la esfera de dimensión uno a que condujo esa pasión por el rigor que debían aprender los niños. Llevó a que muy pocos estudiantes quisieran estudiar matemáticas.

Afortunadamente  se producen reacciones. Un precursor fue Morris Klein fue un exce- lente  matemático.  Escribió varios libros, uno de ellos trata  sobre enseñanzas y le puso un título políticamente correcto y otro no tan políticamente  correcto.  El políticamente correcto es “¿Por qué Juanito no sabe sumar?”. El otro es “El fracaso de la mate- mática moderna”.  Es bueno aclarar que se refería  al fracaso de su enseñanza, no de sus conceptos. El libro  es una crítica  sustentada a todo lo que se está haciendo para frustrar  las generaciones de niños y no permitirles  un conocimiento matemático  que les permita sobrevivir en la vida.

Voy a dar los siguientes números. En Co- lombia de cada 1.000 niños que entran  a primaria,  240 entran a educación superior. Y de cada 1.000 jóvenes que entran a educación superior 2.2. estudian matemáticas y 1.5 física.  Es  decir, de cada 1.000 niños que entran a primaria,  menos del 1 por mil se orientan  hacia la matemática  o física profesional.  Y los programas de bachillerato diseñados por matemáticos parecen que sólo piensan en ese menos del 1 por mil, y dejando muertos y heridos en esa batalla por el rigor. Es como pensar que, si un niño no va a ser campeón olímpico o no va a batir  el record de los 9.74 segundos de los 100 metros planos, no tiene  derecho a aprender a caminar. O definir  que quien no va a ser un concertista  de guitarra  clásica no puede aprender a tocar guitarra para animar y animarse en una fiesta.

Este documento fue tomado de www.revistaelastrolabio.com