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Enseñar Matemáticas
Autor
José Fernando Isaza
Rector Universidad Jorge Tadeo Lozano
Rectorí[email protected]
Voy a esbozar unas ideas en borrador que las he denominado la evolución y las ense- ñanzas de las matemáticas.
Inicio esta historia por el final. En el tránsito del siglo se reflexionaba cuál fue o cuáles fueron los principales hitos que modificaron el conocimiento del mundo físico y el mundo matemático. Durante el siglo XX se puede afirmar que se hizo más lejana, la posibilidad de la certeza. Estos hitos condujeron a lo que se denomina la elusiva certidumbre. El principio de incertidumbre impide que se conozca con precisión la posición y velocidad de una partícula, rompiendo totalmente con la mecánica newtoniana. Otros resultados son la existencia de sistemas totalmente determinísticos pero no computables, la imposibilidad de computación no es consecuen- cia de la ausencia de herramientas analíticas o falta de capacidad de procesamiento de esos sistemas en computadoras, su estructura matemática demuestra que no son computables. Aparecen también en el siglo XX el concepto de las proposiciones indecibles es decir proposiciones que pueden ser ciertas pero es indemostrable su certeza otra consecuencia de la imposibilidad que tiene la matemática de demostrar que no es con- tradictoria. Después de estos resultados ha- blar de la verdad matemática no tiene sentido. Por supuesto todos esos desarrollos que son de la primera mitad del siglo XX plantean una limitación real, al conocimien- to que se puede obtener a través de los modelos matemáticos.
Hace algunos años en una conversación con el profesor Llinás, le expuse esa inquietud.
¿Qué hubiera pasado si el desarrollo de los modelos físicos y el concepto matemático hubiera sido diferente tal que no se hubiera llegado a estas limitaciones? Por supuesto es un pensamiento hipotético. Apelando a la memoria. Planteó el profesor Llinás: “las matemáticas son muy recientes en la historia de la humanidad. Al impasse que se llega con ese desarrollo del siglo XX es por la forma en que se construyó el edificio matemático. Pero por supuesto no es posible devolver la historia hacia atrás. 5.000 años de construcción de un sistema de conocimiento no es nada, comparados con el millón de años de la evolución del hombre sobre la tierra”. Por supuesto, los platonistas no estarían de acuerdo con la anterior afirmación de que la matemática es una construcción del cerebro. Los platonistas expresan la idea que la matemática está en el cosmos, y lo único que logra el cerebro humano es captarla y expresarla. A pesar de lo mítico de esa teoría, matemáticos de la talla de Hardy y Ramanujan, avalan la teoría platónica de que existe una matemática en el mundo y lo que se debe buscar es descubrirla, que la mente no la inventa.
Los formalistas plantean otra idea. Las matemáticas son una creación del cerebro humano. Y esa creación se ajusta muy bien a la modelación de las ciencias naturales. Lo que se denomina “la efectividad sin ra- zón”. La idea de los formalistas coincide con la hipótesis del Dr. Llinás, el conocimiento matemático es inventado por el hombre. A diferencia, del lenguaje que es evolutivo. Las teorías de Chomsky son muy claras: Los niños nacen con una estructura lingüística fruto de la evolución necesaria para la supervivencia del hombre. El punto es que la matemática no es evolutiva. La matemática es artificial. Existe en la parte evolutiva un cierto concepto de cantidad. Un cierto concepto de volumen. Necesarios para la supervivencia. Pero conceptos de una matemática abstracta no son evoluti- vos. Simplificando puede hacerse la siguiente analogía, si el cerebro es e hardware, este viene dotado de un software lingüístico, pero no de un matemático, este debe ser construido.
Es casi imposible encontrar en cualquier país un periódico, una revista que no tenga un artículo sobre el fracaso de la enseñanza de las matemáticas. Se habla de las limitaciones en la baja formación matemática de los estudiantes de primaria, de secundaria. La hipótesis que voy a esbozar, es que esta falencia se debe a que el sistema de enseñanza primaria piensa que la mate- mática es evolutiva como el lenguaje y tra- ta de enseñarla como este, olvidando que es una creación del cerebro, creación que cada persona debe realizar.
Un niño de dos años comprende algo del lenguaje. A los 10 años comprende cerca de 10.000 palabras y más o menos puede comunicar un 95% de su lenguaje materno. Muchos experimentos que se han hecho con los niños expresan conceptos como esos: “no puedo entender la matemática”. Pero casi nunca un niño expresa un concepto como “no puedo entender el lenguaje”. (David A. Sousa). Y sin embargo, el siste- ma educativo trata de asimilar los dos conceptos. Los bebés nacen con un cierto concepto de cantidad pero no de número. Pueden diferenciar, y hay experimentos bellísimos,, como un bebé puede diferenciar el 1, 2 y 3, cómo puede entender que 3 menos 1 es diferente de tres, pero no logra manejar intuitivamente un sistema numérico que supere las decenas y las centenas.
El esbozo de concepto de número y cantidad en un recién nacido, y que se desarrolla por supuesto, no es mucho más avanzado del concepto de cantidad que tienen algunos animales. En algunos experimentos con simios se concluye que pueden diferenciar números hasta 7 y 8.
En el momento en que los niños están aprendiendo las tablas de multiplicar con una compleja metodología diseñada para mortificar a los niños y los padres. En ese periodo ese niño está aprendiendo 10 palabras diarias nuevas sin ninguna dificultad. Las tablas de multiplicar no requieren aprender 100 números nuevos las uno y la del diez son casi intuitivas. No quedarían sino 64, las 2 al 8, y por la conmutatividad solo sería necesario aprender 32 números. Aprender 32 números se ha convertido en un proceso difícil y amargo y que deja muchos tendidos en el camino.
¿Qué pasa? Como se cree que la matemática es evolutiva el proceso de enseñar 32 números recurre al mismo sistema de len- guaje. Es más sensato entender, que hay dificultades en el aprendizaje y adecuar los sistemas de enseñanza. Voy a poner dos ejemplos muy sencillos de a dificultad que hay para entender el concepto de número, pero no el de cantidad.
Hace unos 30 años aparecieron los relojes digitales, la sensación, la maravilla. Todo el mundo planteó que no sería necesario aprender a leer el reloj que es una cosa relativamente compleja. Con el reloj digital que marca las horas como 10:38, está re- suelto el problema. Sin embargo, a los po- cos años pasaron de moda y se volvió al sistema analógico. ¿Por qué? Porque el ce- rebro calcula, por ejemplo, fácilmente el tiempo que falta para una cita a las 10:30 y el reloj analógico marca las 10:00 ve lo que faltaba, pero si miraba digitalmente no lograba cuantificar rápidamente lo que faltaba para cumplir la cita. Se demostró que es mejor volver a enseñar la lectura del reloj analógico.
Lo mismo ocurrió con los velocímetros. Es0tuvieron de moda durante un tiempo. Mos- trar en la pantalla 80 km/hora en números grandes, pasaron también de moda. Se encontró que el cerebro razonaba más rápido cuando veía una aguja marcando 80 y un rojo en 120, que cuando veía 80 y debía analizar lo que faltaba para llegar a 120. Lo cual muestra que el concepto de número toca enseñarlo de forma totalmente diferente. Se dice, por ejemplo, que seguramente la persona si viene con un software que le permita manejar la dinámica física. Porque si no en la estepa no sabría si correr o subirse a un árbol para protegerse de un animal. Este software le permite en la ciudad evi- tar que lo atropelle un carro. Esta idea no parece ser cierta. Cuando una persona atraviesa una calle no está haciendo el cálculo a qué velocidad va el carro, cuánto tiempo demora en frenar, cuál es el tiempo de re- acción para frenar, a qué velocidad puede ir y cuál es el espacio a recorrer si así fuera la población urbana se hubiera extinguido.
El cerebro maneja un sistema totalmente diferente basado en experiencia e intuición. El algoritmo de modelo dinámico que maneja es totalmente diferente del algoritmo del modelo físico.
Hay un ejemplo interesante es posible demostrar que es imposible con un modelo real físico matemático realizar una caram- bola a tres bandas. Este sistema es caótico y dependiente de condiciones iniciales. El modelo tendría que tomar en cuenta, presión del taco, la resistencia del aire, el rozamiento, la elasticidad del choque, etc. Lo cual hace el modelo no computable y sin embargo, hay carambolas a tres bandas.
¿Qué pasa? El sistema que maneja el billarista profesional no es el modelo de cho- que que maneja en físico. Por eso, contra- rio al mito popular, los físicos no son necesariamente buenos billaristas. Cuando lo son es porque practican y tienen habilidades no porque sean buenos físicos.
El asumir que las matemáticas son evolutivas ha conducido a los peores errores u fra- casos en su enseñanza. Uno de los grandes psicólogos, Piaget, seguramente con la mejor intención, plantea que los niños de- sarrollaban el concepto de estructuras matemáticas y la enseñanza debía partir de lo general a lo particular. La actividad de
Piaget se desarrolló a tiempo con la crea- ción y consolidación de la escuela matemá- tica Bourbaki, los formalistas, el rigor. Voy a leer algunas frases del seminario de las enseñanzas de las matemáticas organizado por Piaget, en el cual participaron los más grandes matemáticos de la escuela Bourbaki de la época. “El objeto de la enseñanza de las matemáticas será siempre alcanzar el rigor lógico, lo mismo que la comprensión de un formalismo suficiente”, está hablando para la enseñanza de las matemáticas escolares. “ Si el edificio de las matemáti- cas reposa sobre las estructuras que corresponden, por otra parte, a estructuras de la inteligencia es necesario buscar la di- dáctica de las matemáticas en la organización progresiva de estas estructuras operativas”. Por supuesto hablan de las estructuras operativas: el grupo, el anillo, el campo, la red, las estructuras topológicas.
Por ejemplo, Poincaré, uno de los grandes matemáticos del siglo XX. Decía el concepto de grupo es genético y aparece antes del primer año de vida. No es de extrañar que nos quejemos del problema de la enseñanza de las matemáticas. Premiaban el sistema deductivo general sobre el inductivo particular. Piaget por ejemplo decía “que a los 6 y 8 años el concepto de número entero, de rectas euclidianas y de rectas proyectivas era entendible y era innato en un niño de 6 a 8 años”. Creo que no más del 2% de los lectores pueden afirmar que cuando tenían 6 a 8 años podían conocer el concepto de recta proyectiva. Según Piaget no debería explicar este concepto porque es innato, les recuerdo que ustedes sabían a los 6 años. La recta proyectiva es simplemente la recta euclidiana en que más finito y menos finito se unen y es isomorfa a la esfera de dimensión uno a que condujo esa pasión por el rigor que debían aprender los niños. Llevó a que muy pocos estudiantes quisieran estudiar matemáticas.
Afortunadamente se producen reacciones. Un precursor fue Morris Klein fue un exce- lente matemático. Escribió varios libros, uno de ellos trata sobre enseñanzas y le puso un título políticamente correcto y otro no tan políticamente correcto. El políticamente correcto es “¿Por qué Juanito no sabe sumar?”. El otro es “El fracaso de la mate- mática moderna”. Es bueno aclarar que se refería al fracaso de su enseñanza, no de sus conceptos. El libro es una crítica sustentada a todo lo que se está haciendo para frustrar las generaciones de niños y no permitirles un conocimiento matemático que les permita sobrevivir en la vida.
Voy a dar los siguientes números. En Co- lombia de cada 1.000 niños que entran a primaria, 240 entran a educación superior. Y de cada 1.000 jóvenes que entran a educación superior 2.2. estudian matemáticas y 1.5 física. Es decir, de cada 1.000 niños que entran a primaria, menos del 1 por mil se orientan hacia la matemática o física profesional. Y los programas de bachillerato diseñados por matemáticos parecen que sólo piensan en ese menos del 1 por mil, y dejando muertos y heridos en esa batalla por el rigor. Es como pensar que, si un niño no va a ser campeón olímpico o no va a batir el record de los 9.74 segundos de los 100 metros planos, no tiene derecho a aprender a caminar. O definir que quien no va a ser un concertista de guitarra clásica no puede aprender a tocar guitarra para animar y animarse en una fiesta.
Este documento fue tomado de www.revistaelastrolabio.com
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